Mining e generazione delle monete

Ciao Picchio e benvenuto, cerco di rispondere ai tuoi quesiti.

Come fanno i miners a creare un hash a piacimento (con tot zeri) partendo dallo stesso insieme di dati? Lo modificano e lo ri-calcolano? - vince chi per primo invia l'hash corretto e, ovviamente, la stringa che lo genera?

I dati della rete bitcoin sono memorizzati in una catena di blocchi. Ogni blocco è legato al precedente in modo che dipenda da esso, e questo garantisce una difficoltà sempre crescente per chi volesse contraffare delle transazioni.
I blocchi contengono l'elenco delle transazioni ed un bonus per chi li trova.

In ogni momento i miner cercano di creare un nuovo blocco, che viene trovato mediamente ogni 10 minuti, indipendentemente dal numero di persone che prova a fare l'operazione perchè c'è un livello di difficoltà che cresce al numero di partecipanti all'attività.

Ogni blocco ha un header che contiene, tra le altre cose, l'hash del blocco precedente, un indirizzo di colui che cerca di "risolverlo" ed un "nonce", cioè un numero casuale.

Trovare un nuovo blocco vuol dire riuscire a trovare un particolare nonce che genera un hash con un numero di bit a zero che dipende dal livello di difficoltà attuale.
Quindi ognuno ha un problema diverso da risolvere perchè il proprio indirizzo è diverso: questo garantisce che chi più potenza di calcolo non arrivi sempre prima degli altri a trovare il nonce corretto.

quando saranno generati tutti i BTC sarà ancora necessario trovare un hash con gli zeri per convalidare le transazioni?

Si perchè la cosa importante è il dover continuamente trovare nuovi blocchi. Al momento il fatto di avere un premio di BTC per chi lo trova è una cosa temporanea. Più si va in la con gli anni più la cosa diventa meno importante.

cosa succede ai BTC che un utente "perde"? Son persi per sempre? Ossia, non potranno mai più essere recuperati?

Si, persi per sempre. Questo è un problema per l'(ex)proprietario ma è beneficio per tutti gli altri in quanto rimanendone meno in circolazione il loro valore aumenta.